我们要考虑两位家庭成员的生肖和出生年月对黄道吉日的影响。根据中国传统的风水学和历法知识，不同的生肖对应不同的五行属性，以及不同的运势走向。猴年出生的男性与羊年出生的女性在运势上都有所侧重，且他们之间的关系对于择选吉日有重要意义。六月份是夏令之始，节气变动较大，对于择选开工吉日更要考虑农历节气的特点。
一般来说，在选择装修开工吉日时，除了避开个人八字冲克的不利日期外，还需要关注一些共性的吉日因素。在六月份的黄历中，我们会发现一些适合装修开工的日子，如六月初的几个日子和六月中下旬的某些日子。在这些日子中，再结合男女双方的八字进行细致的筛选。
在八字择日中，我们要特别注意男女双方的八字中的“三合”与“相冲”的情况。由于男性属猴而女性属羊，猴年生肖属于“金”，羊年生肖则与“火”相联。所以需要特别考虑金的克制关系与火的温暖力量是否能够互补，以寻找最合适的开工日子。根据农历六月的特性，还要注意避免“太岁”相冲的日子。
根据风水学的理论，六月份作为夏季之初，适合的装修颜色以淡雅、温暖为主，可以增加家宅的活力与温馨感。在装修过程中也要注意遵循“天人合一”的原则，即人与自然环境的和谐统一。
综合以上因素，我们可以选择六月初的某一天作为装修开工的吉日。具体日期需要结合男女双方的八字以及当天的农历节气进行综合判断。在确定好日期后，还需要注意一些细节问题，如开工前的准备工作、施工队伍的选择等。